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Darcy-Strömung und Darcy-Geschwindigkeit können, in Verbindung mit Partikelverfolgung und Durchlässigkeit, verwendet werden, um rudimentäre Advektions- und Dispersionsmodellierung von Grundwasserbestandteilen durchzuführen. Diese Methode modelliert einen zweidimensionalen, senkrecht gemischten, horizontalen und gleichmäßigen Fluss, bei dem der Druck unabhängig von der Tiefe ist.
Darcy-Strömungsberechnungen
Die in der Berechnung von Darcy-Strömung verwendeten Gleichungen werden in den folgenden Abschnitten aufgelistet.
Berechnen von Fluss und Geschwindigkeit
Das Darcy-Gesetz besagt, dass die Darcy-Geschwindigkeit q in einem porösen Medium anhand der hydraulischen Leitfähigkeit K und dem Druckgefälle
(die Änderung des Drucks pro Einheit Länge in der Richtung des Flusses in einer isotropischen grundwasserführenden Schicht) wie folgt berechnet wird:- q = -K
wobei K aus der Transmissivität T und der Stärke b als K = T/b berechnet werden kann.
Dieser Wert q, in Einheiten Volumen/Zeit/Fläche, wird auch als bestimmter Abfluss, volumetrischer Durchfluss oder Filtrationsgeschwindigkeit bezeichnet. Bear (1979) definiert ihn als das Volumen des Wassers, das pro Einheit Zeit durch eine Einheit Querschnittfläche fließt, normal zur Richtung des Flusses.
- q = -K
Eng verknüpft mit diesem volumetrischen Durchfluss ist der Durchfluss der grundwasserführenden Schicht U, wobei es sich um den Abfluss pro Einheit Breite der grundwasserführenden Schicht handelt (in Einheiten von Volumen/Zeit/Länge):
- U = -T
Diese Konstruktion geht davon aus, dass der Druck von der Tiefe unabhängig ist, sodass der Fluss horizontal ist.
- U = -T
Die durchschnittliche Flüssigkeitsgeschwindigkeit innerhalb der Poren, bezeichnet als Sickergeschwindigkeit V, ist die Darcy-Geschwindigkeit geteilt durch die effektive Porosität des Mediums:
In der Darcy-Strömung-Implementierung ist es diese Sickergeschwindigkeit V, die auf Zellenbasis berechnet wird. Für eine Zelle i,j wird der Durchfluss der grundwasserführenden Schicht U durch jede der vier Zellenwände berechnet, wobei der Druckunterschied zwischen den zwei benachbarten Zellen und der harmonische Durchschnitt der Transmissivitäten Ti+1/2,j (Konikow und Bredehoeft, 1978) verwendet wird, die als isotropisch vorausgesetzt werden.
Zum Beispiel ist für die x-Komponente von
die Gleichung zwischen Zellen i, j und i+1,j:- δh/δx ≈ (hi+1 - hi) / Δx
Dieses Schema wird in den folgenden Abbildungen veranschaulicht:
Berechnen des Restvolumens
In der Zellenwandberechnung, die folgt, erfolgt der Durchfluss der grundwasserführenden Schicht zwischen Zelle i,j und Zelle i+1,j parallel zur x-Richtung und wird berechnet als:
Um einen Grundwasservolumenausgleich zu bestimmen, muss der Grundwasserablauf durch die Zellenwand berechnet werden. Dieser Ablauf Q x(i+1/2) wird durch den Durchfluss der grundwasserführenden Schicht U und der Breite der Zellenwand Δy berechnet:
- Qx(i+1/2,j) = Ux(i+1/2,j) Δy
Für alle vier Zellenwände werden ähnliche Werte erzielt. Diese Werte werden verwendet, um das Grundwasser-Residuum für den Volumenausgleich Rvol für die Zelle zu berechnen, der in das Ausgabe-Raster geschrieben wird. Dieser Wert stellt den Überschuss (oder, im Fall einer negativen Zahl, den Verlust) des Wassers in jeder Zelle dar, wenn der Nettofluss in die Zelle gegeben ist, berechnet als:
Dieses Residuum Rvol sollte im Idealfall für alle Zellen Null sein. Wenn das Ausgabe-Raster, das die Residuen enthält, untersucht wird, suchen Sie nach Abweichungen von Null. Große positive oder negative Residuen verweisen auf eine Massegewinnung oder -verlust, welche gegen den Grundsatz der Kontinuität verstoßen und auf inkonsistente Druck- und Transmissivitätsdaten verweisen. Konsistente Muster positiver oder negativer Residuen zeigen, dass nicht identifizierte Quellen oder Senken vorhanden sind. Reduzieren Sie vor jeder weiteren Modellierung die Residuen. In der Regel werden Anpassungen am Transmissivitätsfeld vorgenommen, um die Residuen zu reduzieren.
Berechnen von Flussvektoren
Die tatsächlich in Darcy-Strömung zum Berechnen der Flussvektoren für jede Zelle verwendeten Gleichungen werden vom arithmetischen Durchschnitt von Ux(i-1/2,j) und Ux(i+1/2,j) abgeleitet, geteilt durch die Porosität der mittleren Zelle ni,j und der Stärke bi,j, um einen Wert für die Sickergeschwindigkeit Vx im Mittelpunkt zu erhalten:
und eine ähnliche Gleichung wird verwendet, um V y im Mittelpunkt zu berechnen:
Diese Zentrierung wird durchgeführt, um die Konvention zu erfüllen, dass gespeicherte Werte Werte im Mittelpunkt der Zelle darstellen. Diese Werte werden für die Speicherung in den Ausgaberichtung- und Betrag-Rastern in Richtung und Betrag für geographische Koordinaten konvertiert.
Im Fall der Grenzzellen des Rasters, für die die Informationen unvollständig sind, werden die Werte für die Geschwindigkeit einfach von der nächstgelegenen inneren Zelle kopiert.
Porositätswerte
Die folgenden Tabellen fassen einige Werte für Porosität und hydraulische Leitfähigkeit für eine Vielzahl geologischer Medien zusammen.
Tabelle 1: Hydraulische Leitfähigkeiten nicht konsolidierter Medien
| Mittel | K (m/s) |
|---|---|
Grober Kies | 10-1 - 10-2 |
Sand und Kies |
10-1 - 10-5 |
Feiner Sand, Schlicke, Löss |
10-5 - 10-9 |
Ton, Schiefer, Moränenablagerung |
10-9 - 10-13 |
Tabelle 2: Hydraulische Leitfähigkeiten konsolidierter Medien
| Mittel | K (m/s) |
|---|---|
Dolomitkalk |
10-3 - 10-5 |
Verwitterter Kalk |
10-3 - 10-5 |
Unverwitterter Kalk |
10-6 - 10-9 |
Kalkstein |
10-5 - 10-9 |
Sandstein |
10-4 - 10-10 |
Granit, Gneis, kompakter Basalt |
10-9 - 10-13 |
Tabelle 3: Porositäten geologischer Medien
| Mittel | Gesamte Porosität |
|---|---|
Unveränderter Granit und Gneis | 0.0002 - 0.018 |
Quartzit | 0.008 |
Schiefer, Schieferplatten, Glimmerschiefer | 0.005 - 0.075 |
Kalkstein, Primärdolomit | 0.005 - 0.125 |
Sekundärdolomit | 0.10 - 0.30 |
Kreide | 0.08 - 0.37 |
Sandstein | 0.035 - 0.38 |
Vulkanischer Tuff | 0.30 - 0.40 |
Sand | 0.15 - 0.48 |
Ton | 0.44 - 0.53 |
Blähton, Schlick | bis zu 0,90 |
Bebauter anbaufähiger Boden | 0.45 - 0.65 |
Zusätzliche tabellarisierte Werte für Porosität und hydraulische Leitfähigkeit finden sich in Freeze und Cherry (1979). Gelhar et al. (1992) präsentieren eine Zusammenfassung der Porosität und Transmissivität verschiedener spezifischer Formationen in der Literatur. Eine ausführliche Erörterung der Porosität in sedimentären Materialien wird bei Blatt et al.(1980) aufgeführt. Eine vollständige Erörterung der Advektion-Dispersionsmodellierung mit diesen Funktionen wird bei Tauxe (1994) präsentiert.
Beispiele
Die typische Sequenz für die Grundwasserdispersionsmodellierung ist die Durchführung von Darcy-Strömung, Partikelverfolgung und dann Durchlässigkeit.
- Ein Beispiel für die im Werkzeugdialogfeld vorzunehmenden Einstellungen für Darcy-Strömung folgt:
Input groundwater head raster: head
Input effective formation porosity raster: poros
Input saturated thickness raster: thickn
Input formation transmissivity raster: transm
Output groundwater volume balance raster: resid1
Output direction raster: dir1
Output magnitude raster: mag1
- Ein Beispiel für die im Werkzeugdialogfeld vorzunehmenden Einstellungen für Darcy-Geschwindigkeit folgt:
Input groundwater head raster: head
Input effective formation porosity raster: poros
Input saturated thickness raster: thickn
Input formation transmissivity raster: transm
Output direction raster: dir1
Output magnitude raster: mag1
Referenzen
Bear, J. Hydraulics of Groundwater. McGraw-Hill. 1979
Blatt, H., G. Middleton und R. Murray. Origin of Sedimentary Rocks, 2nd Ed. Prentice-Hall. 1980
Freeze, R. A. und J. A. Cherry. Groundwater. Prentice-Hall. 1979
Gelhar, L. W., C. Welty und K. R. Rehfeldt. "A Critical Review of Data on Field-Scale Dispersion in Aquifers". Water Resources Research, 28 no. 7: 1955-1974. 1992.
Konikow, L. F. und J. D. Bredehoeft. "Computer Model of Two-Dimensional Solute Transport and Dispersion in Ground Water", USGS Techniques of Water Resources Investigations, Book 7, Chap. C2, U.S. Geological Survey, Washington, D.C. 1978.
Marsily, G. de. Quantitative Hydrogeology. Academic Press. 1986.
Tauxe, J. D. "Porous Medium Advection-Dispersion Modeling in a Geographic Information System". Doctoral Dissertation in Civil Engineering. The University of Texas at Austin, 1994.