Funktionsweise von "Kerndichte"

Mit der Spatial Analyst-Lizenz verfügbar.

Das Werkzeug Kerndichte berechnet die Dichte der Features in der Nachbarschaft dieser Features. Sie kann sowohl für Punkt- als auch für Linien-Features berechnet werden.

Mögliche Verwendungen schließen die Analyse der Dichte von Häusern oder Verbrechen für die kommunale Planung ein oder Untersuchungen darüber, wie Straßen oder Versorgungsleitungen den Lebensraum von Wildtieren beeinflussen. Das Feld mit Grundgesamtheit könnte verwendet werden, um einige Features stärker als andere zu gewichten, oder um zu ermöglichen, dass ein Punkt mehrere Beobachtungen darstellt. Eine Adresse könnte z. B. eine Wohnanlage mit sechs Eigentumswohnungen darstellen, oder einige Verbrechen werden beim Bestimmen der Gesamtverbrechensstatistik schwerer als andere gewichtet. Bei Linien-Features hat eine zweispurige Autobahn vermutlich einen größeren Einfluss als eine schmale unbefestigte Straße.

Berechnen der Kerndichte

Für Punkt-Features

Kerndichte berechnet die Dichte von Punkt-Features um jede Ausgabe-Raster-Zelle herum.

Prinzipiell wird eine sanft geschwungene Oberfläche über alle Punkte gelegt. Der Oberflächenwert ist an der Punktposition am höchsten und verringert sich mit zunehmender Entfernung vom Punkt, wobei er in der Entfernung des Suchradius Null erreicht. Es ist nur eine kreisförmige Nachbarschaft möglich. Das Volumen unter der Oberfläche entspricht dem Wert des Bevölkerungsfeldes für den Punkt, oder 1, wenn NONE angegeben ist. Die Dichte von jeder Ausgabe-Raster-Zelle wird berechnet, indem die Werte aller Kernel-Oberflächen hinzugefügt werden, wo sie den Raster-Zellenmittelpunkt überlagern. Die Kernel-Funktion basiert auf der in Silverman (1986, S. 76, Gleichung 4.5) beschriebenen quadratischen Kernel-Funktion.

Wenn eine andere Einstellung als NONE für das Bevölkerungsfeld verwendet wird, bestimmt der Wert jedes Elements, wie oft der Punkt gezählt wird. Der Wert 3 würde z. B. bewirken, dass der Punkt als drei Punkte gezählt wird. Die Werte können Ganzzahl- oder Gleitkommawerte sein.

Standardmäßig wird eine Einheit auf Grundlage der linearen Einheit der Projektionsdefinition von den Eingabe-Punkt-Feature-Daten oder wie sonst in der Umgebungseinstellung für das Ausgabe-Koordinatensystem angegeben ausgewählt. Wenn eine Flächeneinheit ausgewählt ist, wird die berechnete Dichte für die Zelle mit dem entsprechenden Faktor multipliziert, bevor sie in das Ausgabe-Raster geschrieben wird.

Beispiel: Wenn die Eingabeeinheiten z. B. Meter sind, wird für die Ausgabeflächeneinheiten standardmäßig Quadratkilometer verwendet. Der Vergleich eines Einheitenmaßstabsfaktors für Meter mit Kilometer führt dazu, dass die Werte um einen Multiplikator von 1.000.000 (1.000 Meter x 1.000 Meter) abweichen.

Für Linien-Features

Kerndichte kann auch die Dichte von linearen Features in der Nachbarschaft jeder Ausgabe-Raster-Zelle berechnen.

Prinzipiell wird eine sanft geschwungene Oberfläche über alle Linien gelegt. Ihr Wert ist auf der Linie am höchsten und verringert sich, wenn sie sich von der Linie weg bewegt, und erreicht in der Entfernung des angegebenen Suchradius von der Linie aus Null. Die Oberfläche ist so definiert, dass das Volumen unter der Oberfläche dem Produkt von Linienlänge und Bevölkerungsfeldwert entspricht. Die Dichte von jeder Ausgabe-Raster-Zelle wird berechnet, indem die Werte aller Kernel-Oberflächen hinzugefügt werden, wo sie den Raster-Zellenmittelpunkt überlagern. Die Verwendung der Kernel-Funktion für Linien wird in der quadratischen Kernel-Funktion für Punktdichten übernommen, wie in Silverman beschrieben.

Liniensegment und die darüber angepasste Kernel-Oberfläche

In der Abbildung oben sehen Sie ein Liniensegment und die darüber angepasste Kernel-Oberfläche. Der Beitrag des Liniensegments zur Dichte ist gleich dem Wert der Kernel-Oberfläche am Raster-Zellenmittelpunkt.

Standardmäßig wird eine Einheit auf Grundlage der linearen Einheit der Projektionsdefinition von den Eingabe-Polylinien-Feature-Daten oder wie sonst in der Umgebungseinstellung für das Ausgabe-Koordinatensystem angegeben ausgewählt.

Wenn ein Ausgabefaktor für Flächeneinheiten angegeben wird, konvertiert er die Einheiten der Länge und der Fläche. Wenn die lineare Einheit z. B. Meter ist, werden die Ausgabeflächeneinheiten standardmäßig auf SQUARE_KILOMETERS festgelegt und die entstehenden Liniendichteeinheiten in Kilometer pro Quadratkilometer konvertiert. Der Vergleich eines Flächenmaßstabsfaktors für Meter mit Kilometer führt im Endergebnis dazu, dass die Dichtewerte um einen Multiplikator von 1.000 abweichen.

Sie können die Dichteeinheiten steuern, indem Sie den entsprechenden Faktor manuell auswählen. Um die Dichte in Meter pro Quadratmeter (statt des Standards von Kilometer pro Quadratkilometer) festzulegen, legen Sie die Flächeneinheiten auf SQUARE_METERS fest. Um die Dichteeinheiten der Ausgabe in Meilen pro Quadratmeile zu erhalten, legen Sie die Flächeneinheiten entsprechend auf SQUARE_MILES fest.

Nähere Informationen zu bestimmten Entfernungseinheiten finden Sie im folgenden Thema.

• Weitere Informationen zu Einheiten und Umrechnungskonstanten in ArcGIS

Wenn ein anderes Bevölkerungsfeld als NONE verwendet wird, wird die Länge der Linie als die tatsächliche Länge multipliziert mit dem Wert des Bevölkerungsfeldes für diese Linie angesehen.

Formeln für das Berechnen der Kerndichte

In den folgenden Formeln wird angegeben, wie sich die Kerndichte für Punkte berechnen lässt und wie der Standardsuchradius innerhalb der Formel für die Kerndichte bestimmt wird.

Vorhersagen der Dichte für Punkte

Die vorhergesagte Dichte an einer neuen Position (XY) wird durch die folgende Formel bestimmt:

Dabei gilt:

• i = 1,…,n stellen die Eingabe-Punkte dar. Nehmen Sie nur Punkte in die Summe auf, die sich innerhalb der Radiusentfernung von der Position (XY) befinden.
• pop_i ist der Wert des Feldes mit der Grundgesamtheit von Punkt I; dabei handelt es sich um einen optionalen Parameter.
• dist_i ist der Abstand zwischen dem Punkt I und der Position (XY).

Die berechnete Dichte wird dann mit der Anzahl von Punkten oder der Summe des Feldes mit der Grundgesamtheit multipliziert, falls ein solches angegeben wurde. Diese Korrektur sorgt dafür, dass das räumliche Integral der Anzahl von Punkten (oder der Summe bzw. dem Feld mit der Grundgesamtheit) entspricht und nicht immer gleich 1 ist. Bei dieser Implementierung wird ein quadratischer Kernel verwendet (Silverman, 1986). Die Formel muss für jede Position berechnet werden, deren Dichte geschätzt werden soll. Da ein Raster erstellt wird, werden die Berechnungen auf die Mitte jeder Zelle im Ausgabe-Raster angewendet.

Standardsuchradius (Bandbreite)

In ArcGIS 10.2.1 wurde die Berechnung des Standardsuchradius verbessert.

Zum Bestimmen des Standardsuchradius, auch als Bandbreite bezeichnet, wird der folgende Algorithmus verwendet:

1. Der arithmetische Mittelpunkt der Eingabepunkte wird berechnet. Wenn ein Feld mit Grundgesamtheit bereitgestellt wurde, wird in dieser und allen folgenden Berechnungen nach den Werten in diesem Feld gewichtet.
2. Für alle Punkte wird die Entfernung vom (gewichteten) arithmetischen Mittelpunkt berechnet.
3. Der (gewichtete) Medianwert dieser Entfernungen, D_m, wird berechnet.
4. Die (gewichtete) Standardentfernung, SD, wird berechnet.

   Weitere Informationen hierzu finden Sie unter dem Spatial Statistics-Werkzeug Standardentfernung.

5. Zum Berechnen der Bandbreite wird die folgende Formel angewendet.

Dabei gilt:

• D_m ist der (gewichtete) Medianwert für die Entfernung vom (gewichteten) Mittelwert.
• n ist die Anzahl der Punkte, wenn kein Feld mit Grundgesamtheit verwendet wird, oder die Summe der Werte der Felder mit Grundgesamtheit, wenn ein Feld mit Grundgesamtheit verwendet wird
• SD ist die Standardentfernung.

Beachten Sie, dass min in der Gleichung bedeutet, dass von den zwei Optionen (SD oder ) diejenige mit dem kleineren Ergebniswert verwendet wird.

Es gibt zwei Möglichkeiten zum Berechnen der Standardentfernung: ungewichtet und gewichtet.

Ungewichtete Entfernung

Dabei gilt:

• x _i , y _i and z _i sind die Koordinaten des Features i
• {x̄, ȳ, z̄} stellt den Mittelwert für den Mittelpunkt der Features dar
• n entspricht der Gesamtzahl von Features

Gewichtete Entfernung

Dabei gilt:

• w_i ist die Gewichtung beim Feature i
• {x _w, y_w, z_w} stellt den gewichteten Mittelwert für den Mittelpunkt dar

Methodik

Diese Methode für die Auswahl des Suchradius basiert auf Silvermans Formel als Faustregel für die Bandbreitenschätzung, wurde jedoch für zwei Dimensionen angepasst. Bei dieser Methode für das Berechnen eines Standardradius wird im Allgemeinen das Phänomen eines Ringes um die Punkte vermieden, das oft bei Datasets mit geringer Datendichte vorkommt. Außerdem werden räumliche Ausreißer (d. h. Punkte, die sich weit von den restlichen Punkten entfernt befinden) weitgehend ignoriert.

Erstellen der Ergebnisse aus vorherigen Versionen von ArcGIS

In früheren Versionen von ArcGIS to 10.2.1 wurde der Standardsuchradius berechnet, indem die Breite oder Höhe der Ausdehnung der Eingabe (und zwar der jeweils kleinere Wert) durch 30 dividiert wurde. Wenn Sie diese Ergebnisse erneut erzeugen möchten, multiplizieren Sie den Standardwert des Parameters Ausgabe-Zellengröße mit 25/3 oder 8,333333.

Referenzen

Silverman, B. W. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. New York: Chapman and Hall, 1986.