Spatial Analyst のライセンスで利用可能。
[カーネル密度 (Kernel Density)] ツールは、対象フィーチャの近傍におけるフィーチャの密度を計算します。ポイント フィーチャとライン フィーチャの両方について計算できます。
用途としては、コミュニティ計画に向けた住宅密集度や犯罪密度の解析、道路やユーティリティ線が野生動物の生息地に与える影響の調査などがあります。Population フィールドを使用すれば、一部のフィーチャを加重したり、1 つのポイントで複数の観測データを表したりできます。たとえば、1 つの住所で 6 世帯の集合住宅を表したり、犯罪の種類によってレベル分けするために異なる犯罪には異なる重みを割り当てたりすることができます。ライン フィーチャでは、中央分離帯のある高速道路は、未舗装の細い道路よりも大きな影響を与える可能性があります。
カーネル密度の計算方法
ポイント フィーチャの場合
[カーネル密度 (Kernel Density)] は、各出力ラスター セルの周辺に存在するポイント フィーチャの密度を計算します。
理論的には、各ポイントを中心とし滑らかにカーブするサーフェスが形成されます。このサーフェスの値はポイント位置で最大になり、ポイントから離れるにしたがって小さくなります。ポイントから [検索範囲] の距離だけ離れた位置で 0 になります。使用できるのは円形の近傍のみです。サーフェスにおけるポイント地点での量は、そのポイントの [Population フィールド] の値と等しくなります。NONE を指定した場合は 1 となります。各出力ラスター セルの密度を求めるには、ラスター セルの中心を覆うすべてのカーネル サーフェスの値を合計します。カーネル関数は、Silverman の文献に記載された四次カーネル関数 (1986、p. 76、式 4.5) に基づいています。
[Population フィールド] で [NONE] 以外を設定すると、設定によって指定された値の回数分、対象ポイントがカウントされます。たとえば値 3 の場合、各ポイントは 3 つのポイントとしてカウントされます。整数または浮動小数の値が使用できます。
デフォルトでは、入力ポイント フィーチャ データの投影法で定義された距離単位に基づいて単位が選択されます。それ以外の場合は、環境設定で指定された出力座標系の単位が使用されます。面積の単位を選択した場合、計算したセルの密度に適切な係数が乗算され、出力ラスターに書き込まれます。
たとえば、入力単位がメートルの場合、出力の面積単位は SQUARE_KILOMETERS (平方キロメートル) になります。キロメートルはメートルの 1,000 倍なので、面積値には乗数 1,000,000 (1,000 メートル x 1,000 メートル) が適用されます。
ライン フィーチャの場合
[カーネル密度 (Kernel Density)] は、各出力ラスター セルの近傍にあるライン フィーチャの密度も計算できます。
理論的には、各ラインを中心に滑らかなサーフェスが形成されます。サーフェスの値はライン上で最も大きくなり、ラインから離れるにしたがって小さくなります。また、ラインから [検索範囲] の距離だけ離れた位置でゼロになります。サーフェスは、そのサーフェスにおけるボリュームがライン長と [Population フィールド] 値の積になるように定義されます。各出力ラスター セルの密度を求めるには、ラスター セルの中心を覆うすべてのカーネル サーフェスの値を合計します。ラインに対するカーネル関数の使用は、Silverman の文献に記載された点密度用の四次カーネル関数を応用したものです。
上の図は、ライン セグメントとそれを覆うカーネル サーフェス上を表しています。密度に対するライン セグメントの寄与は、ラスター セル中心におけるカーネル サーフェスの値に等しくなります。
デフォルトでは、入力ポリライン フィーチャ データの投影法で定義されている距離単位に基づいて単位が選択されます。それ以外の場合は、環境設定で指定された出力座標系の単位が使用されます。
出力の [面積単位] 係数を指定している場合、長さと面積両方の単位が変換されます。たとえば、長さの単位がメートルの場合、面積の単位のデフォルトは SQUARE_KILOMETERS になり、得られる線密度の単位はキロメートル/平方キロメートルになります。最終的には、メートルの面積の係数がキロメートルと比較され、1,000 倍異なる密度の値になります。
密度の単位を変更するには、適切な係数を手動で選択します。密度を (デフォルトのキロメートル/平方キロメートルではなく) メートル/平方メートルに設定するには、面積の単位を SQUARE_METERS に設定します。同様に、出力の密度の単位をマイル/平方マイルにするには、面積の単位を SQUARE_MILES に設定します。
特定の距離単位の詳細については、次のトピックをご参照ください。
[Population フィールド] で [NONE] 以外を設定すると、ラインの長さは、実際の長さにそのラインの [Population フィールド] 値を乗算したものになります。
カーネル密度の計算式
次の式は、ポイントのカーネル密度を計算する方法と、カーネル密度の式におけるデフォルトの検索範囲の決定方法を定義しています。
ポイントの密度の推定
新しい (x, y) 位置の推定密度は、次の式で得られます。
ここで、
- i = 1,…,n は、入力ポイントです。ポイントが (x, y) 位置の半径距離内にある場合にだけ、ポイントを合計に含めます。
- popi は、ポイント I の Population フィールド値で、オプションのパラメーターです。
- disti は、ポイント i と (x, y) 位置の間の距離です。
その後、計算された密度がポイント数、または Poplulation フィールドの合計 (このフィールドが指定された場合) で乗算されます。この修正によって、空間積分が、常に 1 と等しいのではなく、ポイント数 (または Population フィールドの合計) と等しくなります。この実装は、四次カーネル (Silverman、1986) を使用します。密度を推定する位置ごとに式を計算する必要があります。ラスターが作成されているため、計算は出力ラスターの各セルの中心に適用されます。
デフォルトの検索範囲 (バンド幅)
ArcGIS 10.2.1 では、デフォルトの検索範囲を計算する方法が改良されました。
デフォルトの検索範囲 (バンド幅とも呼ぶ) の決定に使用されるアルゴリズムは、以下のとおりです。
- 入力ポイントの平均中心を計算します。Population フィールドを指定した場合、この計算および以下のすべての計算は、このフィールドの値によって重み付けされます。
- すべてのポイントの (重み付けされた) 平均中心から距離を計算します。
- これらの距離の (重み付けされた) 中央値 (Dm) を計算します。
- (重み付けされた) 標準距離 (SD) を計算します。
詳細については、[標準距離の算出 (Standard Distance)] 空間統計ツールをご参照ください。
- 以下の式を適用してバンド幅を計算します。
ここで、
- Dm は、(重み付けされた) 平均中心からの (重み付けされた) 距離中央値です。
- n は、Population フィールドを使用しない場合はポイント数、Population フィールドを指定した場合は Population フィールド値の合計です。
- SD は標準距離です。
式の min の部分は、2 つのオプション (SD または 
) のうちの、より小さい値になるオプションを使用することを意味しています。
標準距離を計算するには、加重と非加重という 2 つの方法があります。
非加重距離
ここで、
- x i、y i、および z i は、フィーチャ i の座標です。
- {x̄, ȳ, z̄} は、フィーチャの平均中心を表します。
- n は、フィーチャの合計数に等しくなります。
加重距離
ここで、
- wi は、フィーチャ i の重みです。
- {x w, y w, z w} は、加重平均中心を表します。
手法
この検索範囲選択手法は、Silverman's Rule-of-thumb のバンド幅推定式に基づいていますが、2 次元に適応されてきました。デフォルトの範囲を計算するこのアプローチは、通常、低密度のデータセットで多く発生した「ポイントの周囲のリング」現象を避け、空間的な外れ値 (残りのポイントから遠く離れたいくつかのポイント) に対して強力です。
以前のバージョンの ArcGIS からの結果の再作成
ArcGIS 10.2.1 よりも前のバージョンでは、デフォルトの検索範囲は、入力の範囲の幅または高さのうちの小さい方を選択し、30 で割ることによって計算されていました。それらの結果を再作成する場合、[出力セル サイズ] パラメーターのデフォルト値に 25/3 または 8.333333 を掛けます。
参照
Silverman, B. W. Density Estimation for Statistics and Data Analysisに公開するには、インターネット接続が必要です。New York: Chapman and Hall, 1986.