Как работает инструмент Плотность ядер

Доступно с лицензией Spatial Analyst.

Инструмент Плотность ядер вычисляет плотность точечных объектов вокруг каждой ячейки выходного растра. Она может быть вычислена и для точечных, и для линейных объектов.

Возможные примеры использования включают анализ плотности домов или преступлений при городском планировании, либо изучение того, как технические сооружения или дороги влияют на дикую природу. Поле населенности может использоваться для присвоения некоторым объектам более высоких весов, в зависимости от их значения, либо для обеспечения возможности представления несколько наблюдений одной точкой. Например, один адрес может представлять кондоминиум, состоящий из шести владений, либо некоторым преступлениям может быть присвоен более высокий вес в соответствии с их тяжестью. Что касается линейных объектов, то автомагистраль может оказывать большее влияние, чем узкая грязная грунтовка.

Как инструмент Плотность ядер выполняет вычисления

Для точечных объектов

Инструмент Плотность ядер вычисляет плотность точечных объектов вокруг каждой ячейки выходного растра.

Концептуально, для каждой точки подбирается (строится) сглаженная изогнутая поверхность. Значение поверхности максимально в местоположении точки и уменьшается с увеличением расстояния от точки, достигая нуля на расстоянии, равном заданному Радиусу поиска от точки. Возможно использование только окрестности в форме круга. Объем под поверхностью равен значению поля численности населения (Population) для точки, либо единице, если задано значение "NONE (НЕТ)". Значение плотности в каждой ячейке выходного растра вычисляется путем сложения значений всех ядер, в тех точках, где они накладываются на центр ячейки растра. В основе функции ядра лежит функция квартетного ядра, описанная в Silverman (1986, стр. 76, уравнение 4.5).

Если значение поля величины Population отличается от значения NONE, значение каждого элемента определяет количество подсчетов точки. Например, значение, равное трем, приводит к тому, что точка будет подсчитана три раза. Значения могут быть целыми числами или числами с плавающей точкой.

По умолчанию, единица измерения выбирается, исходя из единиц измерения в определении проекции входных точечных объектов, или же единиц, определяемых параметром среды выходной системы координат. Если выбраны единицы измерения площади, вычисленная для ячейки площадь умножается на соответствующий коэффициент до того, как значение записывается в выходной растр.

Если линейные единицы измерения класса объектов - метры, единицы измерения площади по умолчанию будут установлены как квадратные километры. Применение коэффициента пересчета для перевода метров в километры в результате выдаст значения, отличающиеся на множитель, равный 1000000 (1000 x 1000).

Для линейных объектов

Инструмент Плотность ядер также вычисляет плотность линейных объектов в окрестности каждой ячейки выходного растра.

Концептуально, над каждой линией подбирается (строится) сглаженная изогнутая поверхность. Значение поверхности максимально над линией и уменьшается с увеличением расстояния от линии, достигая нуля на расстоянии, равном заданному Радиусу поиска (Search radius) от линии. Поверхность определяется таким образом, что объем под поверхностью равен произведению длины линии и значения поля Поле численности (Population field). Значение плотности в каждой ячейке выходного растра вычисляется путем сложения значений всех ядер, в тех точках, где они накладываются на центр ячейки растра. Кернфункция для вычисления плотности линий адаптирована из уравнения квадратичной кернфункции для вычисления плотности точек, описанного Сильверманом.

Сегмент линии и подобранную для него поверхность ядра.

Приведенный выше рисунок показывает сегмент линии и подобранную для него поверхность ядра. Вклад сегмента линии в плотности равен значению поверхности ядра в центре ячейки растра.

По умолчанию, единица измерения выбирается, исходя из единиц измерения в определении проекции входных линейных объектов, или же единиц, определяемых параметром среды выходной системы координат.

Если задан выходной коэффициент Единицы площади (Area units), он будет применен для пересчета как линейных единиц, так и единиц площади. Например, если в качестве линейных единиц измерения использовать метры, по умолчанию единицами измерения плотности выходной области будут SQUARE_KILOMETERS, итоговые единицы линейной плотности будут преобразованы в километры на квадратный километр. Конечным результатом, учитывая коэффициент преобразования из метров в километры, будут значения плотности, отличающиеся на множитель 1000.

Вы можете контролировать единицы плотности, вручную выбирая соответствующий коэффициент пересчета. Чтобы плотность выражалась в метрах на квадратный метр (вместо установленных по умолчанию километров на квадратный километр), установите единицы площади на SQUARE_METERS. Аналогично предыдущему примеру, чтобы получить плотность в милях на квадратную милю, задайте в качестве единиц измерения площади SQUARE_MILES.

Более подробно об определенных единицах расстояния см. в следующем разделе.

• Дополнительные сведения об единицах измерения и их преобразовании в ArcGIS

Если значение поля величины (Population) отличается от значения NONE, длина линии принимается равной истинной длине, умноженной на значение поля величины для этой линии.

Формулы для вычисления плотности ядер

Следующие формулы определяют, как вычисляется плотность ядер для точек и как определяется радиус поиска по умолчанию в формуле плотности ядер.

Предсказание плотности для точек

Предсказанная плотность в новой локации (x, y) определяется следующей формулой:

, где:

• i = 1,…,n являются входными точками. В сумму включаются только точки, которые попадают в пределы расстояния радиуса от локации (x, y).
• pop_i - это значение поля населенности точки I, является дополнительным параметром.
• dist_i - расстояние между точкой i и локацией (x, y).

Вычисленная плотность затем умножается на количество точек, либо сумму поля населенности, если она указана. Эта поправка делает пространственную составляющую равной числу точек (или сумме поля населенности), а не всегда равной 1. Это улучшение использует подход Quartic kernel (Silverman, 1986). Эта формула должна быть вычислена для каждой локации, в которой вы хотите оценить плотность. После того, как будет создан растр, вычисления будут применены к центрам каждой ячейки в выходном растре.

Радиус поиска (ширины полосы) по умолчанию

В ArcGIS 10.2.1 был улучшен способ вычисления радиуса поиска по умолчанию.

Алгоритм, используемый для определения радиуса поиска по умолчанию, также известного как ширина полосы, заключается в следующем:

1. Вычисляется усредненный центр входных точек. Если есть поле Population (Население), то данное и все последующие вычисления, будут взвешены по значениям данного поля.
2. Вычисляется расстояние от (взвешенного) усредненного центра всех точек.
3. Вычисляется (взвешенная) медиана данных расстояний, D_m.
4. Вычисляется (взвешенное) значение Стандартного расстояния, SD.

   Для более подробной информации о том, как работает инструмент Пространственной статистики см.Стандартное расстояние.

5. Примените следующую формулу для вычисления ширины полосы.

, где:

• D_m - это (взвешенное) медианное расстояние от (взвешенного) среднего центра.
• n является числом точек, если поле population (население) не используется, или, если поле population используется, то n представляет собой сумму значений поля population.
• SD является стандартным расстояниям.

Обратите внимание, что часть min уравнения означает то, что из двух вариантов, SD или , будет использоваться тот, который выдаёт меньшее значение.

Есть два метода вычисления стандартного расстояния: взвешенное и нет.

Невзвешенное расстояние

, где:

• x _i , y _i и z _i являются координатами объекта i
• {x̄, ȳ, z̄} представляют собой средний центр объекта
• n равно общему числу объектов.

Взвешенное расстояние

, где:

• w_i - это вес объекта i
• {x _w, y _w, z _w} представляют взвешенный средний центр

Методология

Этот метод выбора радиуса поиска основан на эмпирической формуле оценки полосы пропускания Сильвермана, но он был адаптирован для двух измерений. Такой подход к вычислению радиуса по умолчанию, как правило, позволяет избежать явления «кольца вокруг точек», которое часто встречается в разреженных наборах данных, и устойчиво к пространственным выбросам - нескольким точкам, которые находятся далеко от остальных точек.

Восстановление результатов из предыдущих версий ArcGIS

В предыдущих версиях ArcGIS ранее 10.2.1, радиус поиска по умолчанию вычислялся путем выбора наименьших ширины или высоты экстента входных данных и деления этого значения на 30. Если вы хотите воспроизвести это значение, умножьте значение параметра Выходного размера ячейки на 25/3 или 8.333333.

Справочная информация

Silverman, B. W. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Нью Йорк, Chapman and Hall, 1986.