Mit der 3D Analyst-Lizenz verfügbar.
Das Werkzeug Neigung ermittelt die Steilheit an jeder Zelle einer Raster-Oberfläche. Je niedriger der Neigungswert, desto flacher das Gelände. Je höher der Neigungswert, desto steiler das Gelände.
Die Neigung des Ausgabe-Rasters kann in Grad oder Prozent (prozentuale Steigung) berechnet werden. Die prozentuale Steigung ist einfacher zu verstehen, wenn Sie diese als Steigung, geteilt durch die Entfernung, multipliziert mit 100, betrachten. Siehe Dreieck B unten. Bei einem Winkel von 45 Grad entspricht die Steigung der Entfernung, und die prozentuale Steigung beträgt 100 Prozent. Wenn die Neigung sich der Vertikalen (90 Grad) annähert, wie im Falle von Dreieck C, geht die prozentuale Neigung ins Unendliche.
Das Werkzeug Neigung wird am häufigsten auf Höhen-Datasets angewendet (siehe das folgende Diagramm). Steilere Neigungen sind im Ausgabe-Neigungs-Raster rot schattiert.
Das Werkzeug kann auch zusammen mit anderen Typen kontinuierlicher Daten, wie z. B. Bevölkerungsdaten, verwendet werden, um einschneidende Wertänderungen zu ermitteln.
Berechnungsmethoden und Kanteneffekt
Es gibt zwei Methoden zum Berechnen der Neigung. Mit dem Parameter Methode können Sie zwischen der planaren oder der geodätischen Berechnung auswählen.
Bei der planaren Methode wird die Neigung als die maximale Änderungsrate des Wertes einer Zelle zur unmittelbaren Nachbarzelle gemessen. Die Berechnung erfolgt auf einer projizierten flachen Ebene anhand des kartesischen Koordinatensystems in 2D. Der Neigungswert wird anhand der durchschnittlichen Maximalwertmethode berechnet (Burrough, 1998).
Bei der geodätischen Methode erfolgt die Berechnung in einem kartesischen Koordinatensystems in 3D unter Berücksichtigung der Form der Erde als Ellipsoid. Der Neigungswert wird berechnet, indem der Winkel zwischen der topografischen Oberfläche und dem Referenzdatum gemessen wird.
Sowohl planare als auch geodätische Berechnungen werden anhand einer aus 3x3 Zellen bestehenden Zellengruppe (bewegliches Fenster) durchgeführt. Wenn die bearbeitete (mittlere) Zelle NoData ist, lautet die Ausgabe für jede Zellengruppe ebenfalls NoData. Zur Berechnung müssen außerdem mindestens sieben Zellen, die an die bearbeitete Zelle angrenzen, gültige Werte aufweisen. Wenn weniger als sieben Zellen gültig sind, wird die Berechnung nicht ausgeführt, und die Ausgabe an dieser bearbeiteten Zelle lautet NoData.
Die Zellen in den äußersten Zeilen und Spalten des Ausgabe-Rasters lauten NoData. Das liegt daran, dass die Zellen entlang der Grenze des Eingabe-Datasets nicht an ausreichend viele andere Zellen angrenzen.
Methode "Planar"
Für jede Zelle berechnet das Werkzeug die maximale Änderungsrate des Wertes dieser Zelle im Vergleich zu ihren benachbarten Zellen. Das steilste Gefälle für die Zelle ist durch die maximale Änderung der Höhe entlang der Entfernung zwischen der Zelle und ihren acht Nachbarzellen gekennzeichnet.
Algorithmus der planaren Neigung
Die Änderungsraten (Delta) der Oberfläche in der horizontalen (dz/dx) und der vertikalen (dz/dy) Richtung von der Mittelzelle bestimmen die Neigung. Der Basisalgorithmus zum Berechnen der Neigung lautet folgendermaßen:
slope_radians = ATAN ( √ ([dz/dx]2 + [dz/dy]2) )Die Neigung wird in der Regel unter Verwendung des folgenden Algorithmus in Einheiten von Grad gemessen:
slope_degrees = ATAN ( √ ([dz/dx]2 + [dz/dy]2) ) * 57.29578Der Neigungsalgorithmus kann auch wie folgt interpretiert werden:
slope_degrees = ATAN (rise_run) * 57.29578- Dabei gilt:
rise_run = √ ([dz/dx]2 + [dz/dy]2]
Die Werte der Mittelzelle und ihrer acht benachbarten Zellen bestimmen die horizontalen und vertikalen Deltas. Die Nachbarn werden als Buchstaben a bis i identifiziert, wobei e die Zelle darstellt, für die die Ausrichtung berechnet wird.
Die Änderungsrate in der x-Richtung für Zelle e wird mit dem folgenden Algorithmus berechnet:
[dz/dx] = ((c + 2f + i)*4/wght1 - (a + 2d + g)*4/wght2) / (8 * x_cellsize)- Dabei gilt:
wght1 und wght2 bezeichnen die horizontal gewichtete Anzahl der gültigen Zellen.
Wenn beispielsweise Folgendes gilt:
- c, f und i enthalten alle gültige Werte, wght1 = (1+2*1+1) = 4.
- i ist NoData, wght1 = (1+2*1+0) = 3.
- f ist NoData, wght1 = (1+2*0+1) = 2.
Die gleiche Logik gilt für wght2, nur dass die angrenzenden Positionen als a, d und g bezeichnet werden.
Die Änderungsrate in der y-Richtung für die Zelle e wird mit dem folgenden Algorithmus berechnet:
[dz/dy] = ((g + 2h + i)*4/wght3 - (a + 2b + c)*4/wght4) / (8 * y_cellsize)- Dabei gilt:
wght3 und wght4 unterliegen denselben Prinzipien wie die Berechnung [dz/dx].
Beispiel für eine planare Neigungsberechnung
Beispiel: Der Neigungswert der mittleren Zelle des unten dargestellten beweglichen Fensters wird berechnet.
Die Änderungsrate in der x-Richtung für die mittlere Zelle e lautet:
[dz/dx] = ((c + 2f + i)*4/wght1 - (a + 2d + g)*4/wght2) / (8 * x_cellsize) = ((50 + 60 + 10)*4/(1+2+1) - (50 + 60 + 8)*4/(1+2+1)) / (8 * 5) = (120 - 118) / 40 = 0.05Die Änderungsrate in der y-Richtung für die Zelle e lautet:
[dz/dy] = ((g + 2h + i)*4/wght3 - (a + 2b + c)*4/wght4) / (8 * y_cellsize) = ((8 + 20 + 10)*4/(1+2+1) - (50 + 90 + 50)*4/(1+2+1)) / (8 * 5) = (38 - 190 ) / 40 = -3.8Mit den Änderungsraten in der x- und der y-Richtung für Zelle e wird die Neigung für die mittlere Zelle mit dem folgenden Algorithmus berechnet:
rise_run = √ ([dz/dx]2 + [dz/dy]2) = √ ((0.05)2 + (-3.8)2) = √ (0.0025 + 14.44) = 3.80032 slope_degrees = ATAN (rise_run) * 57.29578 = ATAN (3.80032) * 57.29578 = 1.31349 * 57.29578 = 75.25762Der ganzzahlige Neigungswert für Zelle e beträgt 75 Grad.
Geodätische Methode
Bei der geodätischen Methode wird die Neigung in einem geozentrischen 3D-Koordinatensystem gemessen, das auch als ECEF-Koordinatensystem (Earth Centered, Earth Fixed) bezeichnet wird, indem die Form der Erde als Ellipsoid berücksichtigt wird. Das Ergebnis der Berechnung hat keine Auswirkungen auf die Projektion des Datasets. Es werden die Z-Einheiten des Eingabe-Rasters verwendet, wenn sie im Raumbezug definiert sind. Wenn keine Z-Einheiten im Raumbezug der Ausgabe definiert sind, müssen diese mit dem Z-Einheitenparameter definiert werden. Bei der geodätischen Methode ist die Berechnung der Ausrichtung genauer als bei der planaren Methode.
Transformation geodätischer Koordinaten
Das ECEF-Koordinatensystem ist ein nach rechts ausgerichtetes kartesisches 3D-Koordinatensystem mit dem Erdmittelpunkt als Ursprung, in dem jede Position durch X-, Y- und Z-Koordinaten dargestellt wird. In der nachfolgenden Abbildung sehen Sie ein Beispiel für eine Zielposition T, die durch geozentrische Koordinaten ausgedrückt wird.
Die geodätische Berechnung verwendet eine X-, Y-, Z-Koordinate, die basierend auf ihrer geodätischen Koordinaten (Breitengrad φ, Längengrad λ, Höhe h) berechnet wird. Wenn das Koordinatensystem des Eingabe-Oberflächen-Rasters ein projiziertes Koordinatensystem (PCS) ist, wird das Raster zunächst erneut in ein geographisches Koordinatensystem (GCS) projiziert, wo jede Position eine geodätische Koordinate aufweist, und wird dann in das ECEF-Koordinatensystem transformiert. Die Höhe (Z-Wert) ist die Ellipsoidhöhe, die auf die Ellipsoidoberfläche referenziert wird. Weitere Informationen können der Grafik in der Abbildung unten entnommen werden.
Verwenden Sie die folgenden Formeln, um geodätische Koordinaten (Breitengrad φ, Längengrad λ, Höhe h) in ECEF-Koordinaten zu transformieren:
X = (N(φ)+h)cosφcosλY = (N(φ)+h)cosφsinλZ = (b2/a2*N(φ)+h)sinφ- Dabei gilt:
- N( φ ) = a2/ √(a2cosφ2+b2sinφ2)
- φ = Breitengrad
- λ = Längengrad
- h = Ellipsoidhöhe
- a = Hauptachse des Ellipsoids
- b = Nebenachse des Ellipsoids
In den oben aufgeführten Formeln ist die Ellipsoidhöhe h in Meter angegeben. Wenn die Z-Einheit Ihres Eingabe-Raster in einer anderen Einheit vorliegt, wird sie intern in Meter transformiert.
Berechnung der Neigung
Die geodätische Neigung ist der Winkel zwischen der topografischen und der Ellipsoid-Oberfläche. Jede Oberfläche parallel zur Ellipsoid-Oberfläche hat eine Neigung von 0. Um die Neigung an den einzelnen Positionen zu berechnen, wird eine aus 3 x 3 Zellen bestehende Zellengruppenebene um jede bearbeitete Zelle per LSM (Least Squares Method) angepasst. Die beste Anpassung der LSM minimiert die Summe der quadrierten Differenz (dzi) zwischen dem tatsächlichen und dem angepassten Z-Wert. Ein Beispiel finden Sie in der Abbildung unten.
Hier ist die Ebene als z = Ax + By + C dargestellt. Für jeden Zellenmittelpunkt ist dzi die Differenz zwischen dem tatsächlichen und dem angepassten Z-Wert.
Die Ebene wird optimal angepasst, wenn ∑9i=1dzi2 minimiert wird.
Nachdem die Ebene angepasst wurde, wird eine Oberflächennormale an der Zellenposition berechnet. An derselben Position wird ebenfalls eine Ellipsoidnormale rechtwinklig zur Tangentenebene der Ellipsoidoberfläche berechnet.
Die Neigung in Grad wird aus dem Winkel zwischen der Ellipsoid-Normalen und der Normalen der topografischen Oberfläche berechnet, die hier als β dargestellt ist. In der Abbildung oben ist der Winkel α gemäß dem Gesetz der Kongruenzgeometrie die geodätische Neigung, die dem Winkel β entspricht.
Um den Prozentanstieg der Neigung zu berechnen, wird die folgende Formel verwendet:
Slope_PercentRise = ATAN(β) * 100%Verwendung einer GPU
Für die geodätische Methode kann mit diesem Werkzeug die Performance gesteigert werden, wenn Sie eine bestimmte GPU-Hardware auf Ihrem System installiert haben. Weitere Informationen zur Unterstützung, Konfiguration und Aktivierung dieser Funktion finden Sie unter GPU-Verarbeitung mit Spatial Analyst.
Referenzen
Burrough, P. A., and McDonell, R. A., 1998. Principles of Geographical Information Systems (Oxford University Press, New York), 190 pp.
Marcin Ligas, and Piotr Banasik, 2011. Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations (GEODESY AND CARTOGRAPHY), Vol. 60, No 2, 2011, pp. 145-159
B. Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger and J. Collins, 2001. GPS - theory and practice. Section 10.2.1. p. 282.
David Eberly 1999. Least Squares Fitting of Data (Geometric Tools, LLC), pp. 3.