Mit der Spatial Analyst-Lizenz verfügbar.
Mit der 3D Analyst-Lizenz verfügbar.
Das Werkzeug Spline verwendet eine Interpolationsmethode, bei der Werte mithilfe einer mathematischen Funktion geschätzt werden, die die gesamte Oberflächenkrümmung minimiert, wobei eine glatte Oberfläche entsteht, die genau durch die Eingabepunkte verläuft.
Konzeptioneller Hintergrund
Im Grunde extrudieren die Referenzpunkte zu der Höhe ihres Betrags. Bei der Spline-Methode wird eine durch die Punkte verlaufende Gummischeibe gebogen, während die Gesamtkrümmung der Oberfläche minimiert wird. Sie passt eine mathematische Funktion entsprechend einer angegebenen Anzahl nächster Eingabepunkte beim Verlauf durch die Referenzpunkte an. Diese Methode eignet sich am besten zum Generieren sich fließend ändernder Oberflächen, z. B. Höhen, Wasserspiegelhöhen oder Schadstoffkonzentrationen.
Die Grundform der Spline-Methode mit minimaler Krümmung erlegt dem Interpolanten die folgenden beiden Bedingungen auf:
- Die Oberfläche muss genau durch die Datenpunkte verlaufen.
- Die Oberfläche muss eine minimale Krümmung aufweisen. Die Gesamtsumme der Quadrate der zweiten Ableitungswerte der Oberfläche, gemessen über allen Punkten der Oberfläche, muss ein Minimum sein.
Die grundlegende Methode der minimalen Krümmung wird auch als Thin-Plate-Interpolation bezeichnet. Sie stellt eine glatte Oberfläche (kontinuierlich und differenzierbar) sowie kontinuierliche Oberflächen erster Ableitung sicher. Schnelle Änderungen des Verlaufs oder der Neigung (die erste Ableitung) können in der Nähe der Datenpunkte erfolgen. Daher eignet sich dieses Modell nicht zum Schätzen der zweiten Ableitung (Krümmung).
Die grundlegende Interpolationsmethode kann auf das Werkzeug Spline angewendet werden, indem für das Argument Gewichtung der Wert Null verwendet wird.
Spline-Typen
Es gibt zwei Spline-Typen: "Geregelt (Regularized Spline)" und "Gespannt (Tension Spline)". Beim Typ "Geregelt" wird eine glatte, sich allmählich verändernde Oberfläche mit Werten erstellt, die außerhalb des Referenzdatenbereichs liegen können. Beim Typ "Gespannt" wird die Steifheit der Oberfläche gemäß dem Charakter des modellierten Phänomens gesteuert. Mit ihm wird eine weniger glatte Oberfläche erzeugt, mit Werten, die durch den Referenzdatenbereich stärker eingeschränkt sind.
Spline-Typ "Geregelt (Regularized Spline)"
Die Option REGULARIZED ändert die Minimierungskriterien, sodass die Werte der dritten Ableitung in die Minimierungskriterien integriert werden. Der Parameter Gewichtung gibt die Gewichtung der Werte der dritten Ableitung während der Minimierung an, in der Literatur als τ (Tau) bezeichnet. Höhere Werte dieses Parameters führen zu glatteren Oberflächen. Geeignet sind Werte zwischen 0 und 0,5. Diese Option stellt eine glatte Oberfläche sowie glatte Oberflächen erster Ableitung sicher. Diese Methode ist hilfreich, wenn die zweite Ableitung der interpolierten Oberfläche berechnet werden muss.
Spline-Typ "Gespannt (Tension Spline)"
Die Option TENSION ändert die Minimierungskriterien, sodass Werte der ersten Ableitung in die Minimierungskriterien integriert werden. Der Parameter Gewichtung gibt die Gewichtung der Werte der ersten Ableitung während der Minimierung an, in der Literatur als Φ (Phi) bezeichnet. Die Gewichtung Null führt zur einfachen Thin-Plate-Spline-Interpolation. Durch die Auswahl eines größeren Wertes wird die Steifheit der Platte reduziert. Am Grenzwert, wenn Phi sich dem Unendlichen nähert, gleicht die Oberfläche der Form einer Membran oder Gummiplatte, die durch die Punkte verläuft. Die interpolierte Oberfläche ist glatt. Erste Ableitungen sind kontinuierlich, aber nicht glatt.
Zusätzliche Spline-Parameter
Die Ausgabe-Oberfläche lässt sich mit zwei zusätzlichen Parametern noch genauer steuern: Gewichtung und Anzahl an Punkten.
Parameter "Gewichtung"
Bei der Spline-Methode vom Typ "Geregelt (Regularized Spline)" definiert der Parameter Gewichtung die Gewichtung der dritten Ableitungen der Oberfläche im Ausdruck zur Minimierung der Krümmung. Je höher die Gewichtung, desto glatter die Ausgabe-Oberfläche. Die eingegebenen Werte für diesen Parameter müssen größer gleich 0 sein. Typische Werte sind 0; 0,001; 0,01; 0,1 und 0,5.
Bei der Spline-Methode vom Typ "Gespannt (Tension Spline)" definiert der Parameter Gewichtung die Gewichtung der Spannung. Je höher die Gewichtung, desto gröber die Ausgabe-Oberfläche. Die eingegebenen Werte müssen größer gleich 0 sein. Typische Werte sind 0, 1, 5 und 10.
Parameter "Anzahl an Punkten"
Anzahl an Punkten gibt die Anzahl der in der Berechnung jeder interpolierten Zelle verwendeten Punkte an. Je mehr Eingabepunkte Sie angeben, desto stärker wird jede Zelle durch entfernte Punkte beeinflusst und desto glatter ist die Ausgabe-Oberfläche. Je höher die Anzahl der Punkte, desto länger dauert die Verarbeitung des Ausgabe-Rasters.
Spline-Gleichung
Im Algorithmus für das Werkzeug "Spline" wird für die Oberflächeninterpolation die folgende Formel verwendet:
- Dabei gilt:
j = 1, 2, ..., N.
N ist die Anzahl der Punkte.
λj sind Koeffizienten, die durch die Lösung eines Systems linearer Gleichungen ermittelt werden.
rj ist die Entfernung vom Punkt (X,Y) zum j -ten Punkt.
T(x,y) und R(r) sind abhängig von der ausgewählten Option unterschiedlich definiert.
Für Berechnungszwecke wird der gesamte Bereich des Ausgabe-Rasters in Blöcke oder Regionen gleicher Größe unterteilt. Die Anzahl der Bereiche in X- und Y-Richtung ist identisch, ihre Form ist rechteckig. Die Anzahl der Regionen wird durch Division der Gesamtzahl an Punkten im Eingabepunkt-Dataset durch den für die Anzahl an Punkten angegebenen Wert bestimmt. Wenn die Daten weniger gleichmäßig verteilt sind, enthalten die Regionen möglicherweise eine deutlich geringere Anzahl an Punkten, und der Wert für die Anzahl an Punkten ist nur der grobe Durchschnitt. Falls in einem Bereich die Anzahl der Punkte kleiner als 8 ist, wird der Bereich erweitert, bis er mindestens 8 Punkte enthält.
Für die Option "Geregelt (Regularized Spline)" gilt:
T(x,y) = a1 + a2x + a3y- Dabei gilt:
ai sind Koeffizienten, die durch die Lösung eines Systems linearer Gleichungen ermittelt werden.
und
- Dabei gilt:
r ist die Entfernung zwischen dem Punkt und der Stichprobe.
ist der Parameter Gewichtung.Ko ist die modifizierte Bessel-Funktion.
c ist eine Konstante mit dem Wert 0,577215.
Für die Option "Gespannt (Tension Spline)" gilt:
T(x,y) = a1- Dabei gilt:
a1 ist ein Koeffizient, der durch die Lösung eines Systems linearer Gleichungen ermittelt wird.
und
- Dabei gilt:
r ist die Entfernung zwischen dem Punkt und der Stichprobe.
φ2 ist der Parameter Gewichtung.
Ko ist die modifizierte Bessel-Funktion.
c ist eine Konstante mit dem Wert 0,577215.
Regionale Verarbeitung der Ausgabe
Für Berechnungszwecke wird der gesamte Bereich des Ausgabe-Rasters in Blöcke oder Regionen gleicher Größe unterteilt. Die Anzahl der Bereiche in X- und Y-Richtung ist identisch, ihre Form ist rechteckig. Die Anzahl der Regionen wird durch Division der Gesamtzahl an Punkten im Eingabepunkt-Dataset durch den für die Anzahl an Punkten angegebenen Wert bestimmt. Wenn die Daten weniger gleichmäßig verteilt sind, enthalten die Regionen möglicherweise eine deutlich geringere Anzahl an Punkten, und der Wert für die Anzahl an Punkten ist nur der grobe Durchschnitt. Falls in einem Bereich die Anzahl der Punkte kleiner als 8 ist, wird der Bereich erweitert, bis er mindestens 8 Punkte enthält.
Referenzen
Franke, R. 1982. Smooth Interpolation of Scattered Data by Local Thin Plate Splines. Computer and Mathematics with Applications. Vol. 8. No. 4. S. 273–281. Großbritannien.
Mitas, L., and H. Mitasova. 1988. General Variational Approach to the Interpolation Problem. Computer and Mathematics with Applications. Vol. 16. No. 12. S. 983-992. Großbritannien.